MATH-AmSud NeuralFEM (2026-2027)

Synthèse

Titre

Optimal and certified NEURAL network predictions thanks to tools coming from Finite Element Methods

Coordinateur international

Michel Duprez

Financement

Programme régional MATH-AmSud

Budget

48,5 k €

Résumé

Les réseaux de neurones offrent rapidité et souplesse pour approcher les solutions d’équations aux dérivées partielles paramétrées : une fois entraînés, ils prédisent en temps quasi réel, ce qu’exigent certaines applications de guidage per-opératoire. Mais rien ne garantit l’exactitude de ces prédictions, qui peuvent parfois être totalement fausses — un obstacle majeur dès lors que l’enjeu est critique, comme en ingénierie biomédicale.

NeuralFEM porte sur ces réseaux les outils d’analyse a priori et a posteriori développés pour les éléments finis, afin d’obtenir des schémas à la fois optimisés et certifiés. Le projet vise les problèmes non réguliers et non linéaires — inéquations variationnelles issues du contact et de la plasticité, EDP fractionnaires modélisant la diffusion anomale — pour lesquels les méthodes classiques atteignent leurs limites, notamment en présence de forts gradients, de singularités ou de discontinuités.

Le second objectif du projet est de renforcer les liens entre les communautés scientifiques d’Uruguay, de Colombie, du Chili et de France : collaborations sur des problèmes précis, co-encadrement d’étudiants, organisation de rencontres. Un atelier réunissant tous les membres se tiendra en France la première année, un second à Montevideo la seconde.

Axes de travail

• T1 — Méthodes : conception de réseaux pour les problèmes non linéaires et non réguliers (opérateurs fractionnaires, contact), avec exploration d’approches hybrides combinant éléments finis et réseaux.
• T2 — Analyse a priori : étude mathématique des schémas de T1, espaces fonctionnels adaptés à l’approximation par réseaux, convergence des algorithmes de descente de gradient.
• T3 — Analyse a posteriori : estimateurs d’erreur inspirés des éléments finis pour piloter des stratégies adaptatives, avec preuves de fiabilité et d’efficacité.
• T4 — Bases réduites : implémentation et évaluation des approches ROM sur les mêmes problèmes, en comparaison des méthodes neuronales.
• T5 — Applications : biomécanique et biomédical — compression tissulaire, interaction stent–artère, diffusion anomale dans les tissus.

Les implémentations reposeront sur FEniCSx et PyTorch, et seront diffusées en libre accès.

Partenaires

Le consortium réunit 16 chercheurs de cinq pays.

Uruguay — Universidad de la República, Montevideo
Franz Chouly (coordinateur national), Juan Pablo Borthagaray

Colombie — Universidad Nacional de Colombia et Universidad EAFIT, Medellín
Manuela Bastidas (coordinatrice nationale), Diego Alejandro Muñoz, Nicolás Guarín-Zapata

Chili — Universidad de Concepción, Universidad de Santiago de Chile, Universidad del Bío-Bío
Rodolfo Araya (coordinateur national), Patrick Vega, Jorge Aguayo

France — Inria, ENPC-CERMICS, École Polytechnique
Michel Duprez (coordinateur international, équipe MIMESIS), Pablo Alvarez, Stéphane Cotin, Raphaël Bulle, Martin Genet, Alexandre Ern, Virginie Ehrlacher (coordinatrice nationale)