ϕ-FEM is a recently proposed finite element method for the efficient numerical solution of partial differential equations posed in domains of complex shapes, using simple regular meshes. The main goal of this project is to further develop ϕ-FEM turning it into a tool for efficient, patient-specific and real-time simulations of human organs. To reach this objective, we shall adapt ϕ-FEM to the equations appropriate to biomechanics, provide an efficient implementation for it allowing for the use of actual organ geometries, and finally combine it with convolution neural networks to make it real time after training. The ultimate, long-term, goal is thus to contribute to the construction of digital twins of organs able to guide the surgical act in real time using information acquired before the operation and to reduce the costs of a medical doctors’ training by working on visual organs. The innovation of ϕ-FEM lies in its ability to combine the ease of implementation of classical immersed boundary methods with the accuracy of more recent CutFEM/XFEM approaches. It incorporates, by its very construction, the popular description of geometry by Level Set functions, which can represent the real geometry with whatever accuracy desired which makes this approach numerically less expensive than classical finite element methods. The ϕ-FEM paradigm will also be used to develop efficient registration algorithms. Our results will be integrated into the open-source SOFA platform developed in the MIMESIS team to facilitate dissemination.
Membres
Michel Duprez Chargé de recherche Inria, Université de Strasbourg (Coordinateur)
Alexei Lozinski Prof. d’université, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Bourgogne Franche Comté
Vanessa Lleras Maître de conférence, Institut de Mathématiques Alexander Grothendieck (IMAG), Université de Montpellier
Stéphane Cotin Directeur de recherche Inria, Université de Strasbourg
Yannick Privat Prof. d’université, Institut de Recherche en Mathématiques Appliquées (IRMA), université de Strasbourg
Stéphane Bordas Prof. d’université, Université du Luxembourg
Vincent Vigon, maître de conférence, Institut de Recherche en Mathématiques Appliquées (IRMA), Université de Strasbourg
Publications
[4] A ϕ-FEM approach to train a Neural Operator as a fast PDE solver for variable geometries. M. Duprez, V. Lleras, A. Lozinski, V. Vigon and K. Vuillemot. Soumis
[3] An Immersed Boundary Method by ϕ-FEM approach to solve the heat equation M. Duprez, V. Lleras, A. Lozinski and K. Vuillemot. Accepté dans CRAS, preprint.
[2] φ-FEM: an optimally convergent and easily implementable immersed boundary method for particulate flows and Stokes equations M. Duprez, V. Lleras and A. Lozinski. ESAIM: M2AN 57 (2023), 1111-1142, preprint (hal), pdf (revue).
[1] A new ϕ-FEM approach for problems with natural boundary conditions M. Duprez, V. Lleras and A. Lozinski. Numer. Methods Partial Differ. Eq. 39 (2023) n°1, 281-303., preprint (hal), pdf (revue), codes (github).
Codes
Les codes développés dans ce projet sont en libre accès à l’adresse suivante :
Conférence ECCOMAS https://eccomas2024.org/ Lieu : Lisbonne Titre : ϕ-FEM: a fictitious domain finite element method on geometries defined by level-sets
4-8 sept. 2023
Mimi-symposium à la Conférence ENUMATH https://enumath2023.com/ Lieu : Lisbonne Organisation : Vanessa Lleras Nombre d’orateurs : 6 Titre : Approximated boundary methods: modelling, mathematical analysis and simulations
Communications orales en conférences et séminaires
Conférence ENUMATH https://enumath2023.com/ Lieu : Lisbonne Orateur 1 : Michel Duprez Titre 1 : ϕ-FEM: a immersed finite element method on domains defined by level-sets to solve elliptic PDEs
Orateur 2 : Vanessa Llleras Titre 2 : A ϕ-FEM approach with deep learning and varying geometry
« COUPLED 2023 » https://coupled2023.cimne.com/ Lieu : Crete Orateur : Alexei Lozinski Titre : phi-FEM for creeping flows around moving rigid particles
22-26 mai 2023
« SMAI 2023 » https://smai2023.math.cnrs.fr/fr/ Lieu : Gosier (Guadeloupe) Oratrice : Vanessa Lleras Titre : Combinaison de la méthode non conforme éléments finis phi-FEM avec des réseaux de neurones
« 22nd IACM Computational Fluids Conference – CFC 2023 » https://cfc2023.iacm.info Lieu : Cannes Orateur : Michel Duprez Titre : phi-FEM: a finite element method on domains defined by level-sets
« SIAM Conference on Computational Science and Engineering » https://www.siam.org/conferences/cm/conference/cse23 Lieu : Amsterdam Orateur : Alexei Lozinski Titre : phi-FEM for creeping flows around moving rigid particles
15 nov. 2022
« Numerical methods for fluid, structure and interactions problems » https://indico.math.cnrs.fr/event/7591/ Lieu : Toulouse Orateur : Alexei Lozinski Titre : phi-FEM, an optimally convergent fictitious domain method and its applications to flows around moving rigid particles